2- De quantas formas diferente podemos realocar 5 pessoas nem veículo para realizar uma viagem, sendo que apenas 3 possuem carteira de motorista?
3- Quantos números pares distintos de três algarismos podem ser formados com os números 1,2,3,4?
4- Uma prova compõe-se de 20 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada, 4 alternativas distintas. Se todas vinte questões forem respondidas ao acaso, o número máximo de maneiras de preencher a folha de resposta será 1099511627776.
5- Um salão tem 5 portas. De quantas maneiras ele pode estar aberto?
6- Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas diferentes, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá fazer seu pedido?
7- De quantas maneiras diferentes podemos pintar uma bandeira com as cores azul, branco, preto e vermelho, sendo que não podem ficar adjacentes cores iguais, mas elas podem repetir-se ao longo da bandeira?
8- Uma placa de automóvel é composta por três letras e quatro algarismos, nessa ordem. O número de placas que podem ser formadas com as letras K,Q, ou L e cujos dois últimos algarismos são 2 e 6, nessa ordem é?
9- De quantas maneiras distintas podemos alinhar 5 estacas azuis (idênticas), 1 estaca branca e outra estava vermelha?
10- Sete lugares dispostos lado a lado de uma fila de teatro vão ser sorteados entre sete pessoas, sendo 3 homens, e quatro mulheres. Qual a probabilidade de as mulheres sentarem juntas?
11- Qual a probabilidade de jogando-se três dados, obter-se a soma 15?
12- Um grupo de pessoas é formado por 6 homens e 4 mulheres. Qual a probabilidade de sorteando-se 2 pessoas desse grupo, encontrarmos 2 homens?
13- Um grupo de pessoas é formado por 6 homens e 4 mulheres. Qual a probabilidade de sorteando-se 2 pessoas desse grupo, encontrarmos 1 homem e uma mulher?
14- Um grupo de pessoas é formado por 6 homens e 4 mulheres. Qual a probabilidade de sorteando-se 5 pessoas desse grupo, encontrarmos 3 homens e 2 mulheres?
15- Uma pessoa joga cinco moedas para o alto e depois que elas caem no chão, observa que fica voltada para cima em cada uma delas. Qual a probabilidade dela encontrar cinco caras?
16- Uma pessoa joga cinco moedas para o alto e depois que elas caem no chão, observa que fica voltada para cima em cada uma delas. Qual a probabilidade dela encontrar 3 caras e 2 coroas?
17- Julgue: Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor é de 3,96%.
18- Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética?
19- Um juiz deve analisar 12 processos sendo 4 de médicos, 5 de professores, 3 de bancários. Considere que o juiz selecione 3 aleatoriamente para serem analisados. Qual a probabilidade de que todos os processos sejam de bancários?
20- Um juiz deve analisar 12 processos sendo 4 de médicos, 5 de professores , 3 de bancários. Considere que o juiz selecione 3 aleatoriamente para serem analisados. Qual a probabilidade de que pelo menos um seja de professor?
21- Qual a probabilidade de, jogando-se dois dados, a soma dos resultados ser oito?
22- Em uma urna há nove bolas numeradas de 1 a 9. Se três bolas são sorteadas simultaneamente desta urna, qual é a probabilidade de que a soma dos números marcados nas três bolas seja ímpar?
23- André e Bruno fazem parte de um grupo de 10 pessoas dentre as quais 4 serão sorteadas para fazer uma viagem. Qual a probabilidade de André e Bruno serem sorteados?
24- Em uma sala de aula estão 7 meninas e 3 meninos. Três das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de dança. Qual a probabilidade de as três crianças escolhidas não serem do mesmo sexo?
25- Que frase podemos citar como sendo referência para se entender a lógica proposicional condicional (seàentão)?
26- Qual a probabilidade de um casal de 3 ter 3 filhos homens e 2 mulheres?
27- De quantas maneiras diferentes 4 pessoas podem sentarem-se em uma mesa circular?
28- Em uma reunião social, cada convidado cumprimentou uma única vez todas as outras com um aperto de mão, o que resultou em 45 desses cumprimentos. Nesse contexto é correto afirmar que apenas 12 pessoas participaram da reunião.
29- Sete Modelos, entre elas, Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser Ana, ou Beatriz, ou Carla, ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a)420 b)480 c)360 d)240 e)60
30- Além de Corinthians e Flamengo, que disputaram a decisão do Campeonato, Santos, Palmeiras, Fluminense, Cruzeiro, Grêmio e Coritiba classificaram-se para a fase final da competição. As possibilidades para os quatro primeiros colocados do Campeonato, sem empates, são: a)60 b)30 c)112 d)70 e)56
31- Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9 999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a a) 936 b) 896 c) 784 d) 768 e) 728
32- Quantos números pares de 3 algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos algarismos de 0 a 9?
33- Se um livro tem 400 páginas numeradas de 1 a 400, quantas vezes o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro?
34- Nos anagramas da palavra ROMANCE, qual o número de vezes que as letras A, M, O, R aparecem nesta ordem (não necessariamente juntas)?
35- Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores distintos onde eles podem ser lotados, então há, no máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações.
36- Se P(A)=1/2; P(B)=1/5; P(B|A)=2/9 e A e B são eventos DEPENDENTES, calcule: a) P(de A não ocorrer) ------- b) P(B não ocorrer) ------- c) P(A e B) ------- d) P(A ou B) ------- e) P(A não ocorrer e B não ocorrer) ------- f) P(A não ocorrer ou B não ocorrer).
37- Se P(A)=1/2 , P(B)=1/4, e A e B são eventos INDEPENDENTES, calcule: a) P(A não ocorrer e B não ocorrer) ----- b) P(A não ocorrer ou B não ocorrer).
38- Se P(A)=2/3, P(B)=1/4 e A e B são mutuamente exclusivos, calcule P(A e B)
39- Se P(A)=1/3 e A e B são eventos complementares, calcule: a) P(B não ocorrer) ----- b) P(A e B)
40- Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. É correto afirmar que trata-se de eventos independentes, mutuamente exclusivos.
41- Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 bolas brancas e duas bolas verdes. Retiram-se aleatoriamente, 3 bolas sem reposição. Calcule: a) a probabilidade de se obter todas da mesma cor.
42- Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão nos pneus é igual a 0,35?
43- Dezesseis (16) funcionários de uma empresa, entre eles Pedro e Paula, que são casados, vão ser divididos por sorteio em quatro grupos de quatro pessoas e, cada grupo vai analisar um aspecto da gestão da empresa. A probabilidade de que Pedro e Paula caiam no mesmo grupo é de?
44- Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas estas informações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a 1/2.
45- Em uma caixa há oito bolas brancas e duas azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Após, sem haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, também o acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola é azul. Dado que essa segunda bola é azul, a probabilidade de que a primeira bola extraída seja também azul é 1/2.
46- Um mecânico regula um automóvel modelo X em 40 minutos. Em quanto seu auxiliar realiza o mesmo trabalho em duas horas. Trabalhando jun tos, regularão 3 automóveis do mesmo modelo em quantos minutos?
47- Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
48- Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos algarismos de 0 a 9?
Respostas da Revisão de Raciocínio Lógico
1- Utilizando-se do PFC, 90 possibilidades . 80 possibilidades = 7200. Parece que a ordem das possibilidades no PFC não importa.
2- A3,1 . A4,4 = 3 . (4.3.2.1) = 72 /// ou /// fixando-se cada motorista (3) de cada vez: 1 . (4.3.2.1) (ou) + 1 . (4.3.2.1) (ou) + 1 . (4.3.2.1) (ou) = 24 +24 + 24 = 72;
3- Começando-se sempre pela situação peculiar, que neste caso é o número par do final do algarismo: A2,1 . A3,2 = 2.(3.2)=12;
4- Correto. O resultado é 420. Basta aplicar o princípio fundamental da contagem (PFC). Cada questão possui 4 alternativas, quatro caminhos, então 4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4=420;
5- Calculam-se as possibilidades (pfc) 2.2.2.2.2=32, menos a possibilidade do salão estar todo fechado = 31 formas.
6- Pode ser resolvida por PFC ou combinação: C2,1 . C4,1 . C5,1 . C3,1 = 120. Lembre-se que o enunciado fala em pedido. O pedido é formado por 4 alimentos diferentes, que, depois de escolhidos, pouco importará a ordem.
7- Podemos utilizar o PFC: 4(podemos escolher qualquer cor na primeira faixa) . 3 (não podemos repetir a cor utilizada anteriormente para não ficar cores iguais adjacentes) . 3 (mesma situação anterior) . 3 (mesma situação anterior) = 4.3.3.3 = 108.
8- Essa questão pode ser resolvida por PFC ou arranjo. PFC: 3.3.3.10.10.1.1 = 2700; Por arranjo = A3,1 . A3,1 . A3,1 . A10,1 . A1o,1 . A1,1 . A1,1 = 2700;
9- De 42 maneiras diferentes. É um caso de permutação com repetição. P= 7.6.5.4.3.2.1 / 5.4.3.2.1 = 42;
10- Utilizar-se-á permutação para descobrir qual o total possível para dividir-se por aquilo que pode ocorrer. Resposta: 7! / P4 . P4 = 7.6.5.4.3.2.1 / (4.3.2.1) . (4.3.2.1) = 4/35
11- Deve-se calcular a probabilidade de ocorrer P5,5,5 + P3,6,6 + P4,5,6 = (1/6 . 1/6. 1/6) + (1/6 . 1/6 . 1/6) .P32 + (1/6 . 1/6 . 1/6) . P3 = 1/216 + (1/216 . 3!/2!) + (1/216) . 3! = 1/216 + 3/216 + 6/216 = 10/216
12- Calcula-se a probabilidade do primeiro e depois do segundo (eventos sucessivos). P = 6/10 . 5/9 = 30/90 = 1/3
13- Calcula-se a probabilidade do primeiro e depois do segundo (eventos sucessivos) e multiplica-se pela permutação, pois não sabemos se será sorteado primeiro o homem ou a mulher. P = 6/10 . 4/9 . P2 = 24/90 . 2 = 48/90 = 8/15
14- Calcula-se a probabilidade sucessiva dos eventos e multiplica-se pela permutação, pois não sabemos se será sorteado primeiro o homem ou a mulher. Deve-se atentar que é uma permutação com repetição. P = 6/10 .5/9 . 4/8(homens). 4/7 . 3/6(mulheres) . P52,3 = 1/21 . 5!/3!2! = 10/21
15- Calculam-se as probabilidades individuais. Pcara= ½ . ½ . ½ . ½ . ½ = 1/32
16- Calculam-se as probabilidades individuais multiplicadas pelas ordens que podem ocupar (permutação com repetição). P3caras,2 coroas= (½ . ½ . ½ . ½ . ½) . P53,2 = 5/16
17- Correto. Calcularemos a probabilidade de serem amarelas ou (+) de serem azuis, ou (+) de serem vermelhas. Pazuis= 45/15 . 4/14 . 3/13 = 2/91 ou (+) Pvermelhas= 4/15 . 3/14 . 2/13= 4/455 ou (+)Pamarelas= 4/15 . 3/14 . 2/13= 4/455 /// \\\ P=18/455 = 3,96%
18- Probabilidade de ter: 1/100 ///\\\ Probabilidade de não ter: 99/100. P1 ter e 2 não ter= (1/100 . 99/100 . 99/100) . P32 = 9801/1000000 . 3 = 29403/1000000 = 0,0294 = 2,94%
19- P= 3/12 . 2/11 . 1/10 = 1/220
20- Calcula-se a probabilidade de que nenhum seja de professor. P= 7/12 . 6/11 . 5/10 = 7/44. Calculando-se a probabilidade de serem de professor pelo princípio da complementariedade: P= 1 - 7/44 = 37/44.
21- As formas possíveis para termos oito como resultado são: 6+2 ou 5+3 ou 4+4 (pode ser também 2+6 ou 3+5 ou 4+4). Calculando-se as 3 probabilidades isoladamente temos: P(6+2) = 1/6 . 1/6 . P2 + (ou) P(5+3) = 1/6 . 1/6 . P2 + (ou) P(4+4) = 1/6 . 1/6 = 5/36
22- Para resolver esta questão precisamos saber de um princípio da soma de números ímpares e pares: Par + Par + Par = Par. Par + Par + Ímpar = Ímpar. Par + Ímpar + Ímpar = Par. Ímpar + Ímpar + Ímpar = Ímpar. Temos 5 bolas ímpares e 4 pares. Então: 4/9 . 3/8 . 5/7 . P32 ou (+) 5/9 . 4/8 . 3/7 . P33 = 10/21
23- P= 1/10 . 1/9 . 8/8 . 7/7 . P42 = 2/15
24- Cacula-se a probailidade de ser, e depois, pelo princípio da complementariedade, vê-se o que não pode ser. Pmenina= 7/10 . 6/9 . 5/8= 210/720 ou (+) Pmenino= 3/10 . 2/9 . 1/8 = 6/720 =210/720 = 216/720 = 3/10 de serem do mesmo sexo. A de não serem é 7/10.
25- Se é baiano, então é brasileiro.
26- Calculam-se as probabilidades individuais e multiplica-se o resultado pelas permutações com repetição: ½ . ½ . ½ . ½ . ½ . P53;2 = 1/32 . 10 = 5/16
27- É um caso de permutação circular. Calcula-se como a permutação comum, só que eliminando-se um elemento. P= 3.2.1 = 6
28- Errado. Calcula-se a combinação de 12 de 2 em duas pessoas. C12,2 = 12.11/2.1 = 66. Portanto, se fossem doze pessoas conforme sugere o enunciado, dariam 66 apertos de mão.
29- Escolhe-se uma das restrições para analisar. 5.5.4.Ana + 5.5.4.Beatriz + 5.5.4.Carla + 6.5.4.Denise= 420 maneiras.
30- Levando-se em consideração que o 1° e 2° lugar só pode ser ocupado pelo flamengo ou coríntians, tem-se a seguinte fórmula de acordo com as possibilidades (PFC): 2.1.6.5=60.
31- O segredo da questão está no conceito de diferença positiva como sendo o módulo da diferença entre dois termos, ex., diferença positiva entre |4-1|=3 e a diferença positiva entre |1-4|=3. Sabendo-se o conceito, como o enunciado tem mais de uma condição, resolveremos por PFC e não por arranjo. Pormenorizando-se as restrições: 1 __ __ 4; 2 __ __ 5; 3 __ __ 0; 3 __ __ 0; 4 __ __ 1; 4 __ __ 7; 5 __ __ 2; 5 __ __ 8; 6 __ __ 3; 6__ __ 9; 7 __ __ 4; 8 __ __ 5; 9 __ __ 6. A partir daí calculam-se as possibilidades: 1.1.8.7=56. Multiplicando-se pela quantidade de situações: 13.56= 728.
32- Para este tipo de questão deve-se ter extremo cuidado. É um caso de PFC que impõe mais de uma restrição. O segredo é pormenorizar uma das restrições e posteriormente atender a outra. __ __ 0; __ __ 2; __ __ 4; __ __ 6; __ __ 8; Completando-se com as possibilidades de preenchimento temos: 9.8.1+ 8.8.1+ 8.8.1+ 8.8.1+ 8.8.1= 328.
33- Quando se tem uma questão deste gênero (sobre quantas vezes aparecem determinado algarismo em páginas), o melhor caminho é dividir em três etapas: primeiro calcular as páginas de apenas um algarismo, posteriormente as de 2 algarismos e por fim as de 3 algarismos. Quantidade de vezes o que algarismo 2 aparece em páginas de 1 algarismo: 1 vez. Quantidade de vezes o que algarismo 2 aparece em páginas de 2 algarismos: __ . 2 (9 possibilidades . 1 possibilidade) ou 2 . __ (1 possibilidade . 10 possibilidades) = 19 vezes. Quantidade de vezes o que algarismo 2 aparece em páginas de 3 algarismos (considera-se de 1 a 399 pois 400 não tem o algarismo 2): __ . __ . 2 (3 possibilidades . 10 possibilidades . 1 possibilidade). __ . 2 . __ (3 possibilidades . 1 possibilidade . 10 possibilidades). 2 . __ . __ (1 possibilidade . 10 possibilidades . 10 possibilidades). Resposta: 1+9+10+10+10+10+30+100=180 possibilidades.
34- Para resolver esse tipo de permutação, vale utilizar-se de um artifício: considere a quantidade de elementos que devem ficar em ordem como repetições. No caso em tela, consideraremos as letras AMOR como sendo 4 letras X. Então temos 7.6.5.4.3.2.1 / 4.3.2.1 (número de repetições)= 210.
35- Deve se considerar 9 elementos para utilizar a permutação com repetição, pois consideraremos as barras que fazem a divisão da distribuição da lotação como elementos. Ex: Abdo|Beto|Carlos,Dário|Everton, Francisco ou Abdo, Beto|Carlos, Dário|Everton|Francisco ou Abdo,Beto| Carlos, Dário, Everton| Francisco|0, etc. Dessa forma, permutaremos os nove elementos (considerando os setores) e dividiremos (permutação com repetição) pelo número de funcionário e o número de setores. Assim: 9!/6!3!=84 possibilidades.
36- Resolvendo a letra “a”: P(A ocorrer) + P(A não ocorrer) = 1à 1 - 1/2 = 1/2. Resolvendo a letra “b”: P(B ocorrer) + P(B não ocorrer) = 1à 1 - 1/5 = 4/5. Resolvendo a letra “c”: Aplica-se a regra do “E” à P(A e B) = P(A) . P(B dado que A ocorreu) à 1/2 . 2/9 = 2/18 = 1/9. Resolvendo a letra “d”: Aplica-se a regra do “OU” à P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) = 1/2 + 1/5 – 1/9 = 53/90. Resolvendo a letra “e”: P(A não ocorrer e B não ocorrer) utiliza-se a regra do “E” à P(A não ocorrer) . P(B não ocorrer, dado que A não ocorreu). Como não temos a Probabilidade de B não ocorrer dado que A ocorreu (o problema deu apenas P[B dado que A ocorreu]) descobriremos por meio da negação, já que são eventos complementares. Fazendo a negação de P(A não ocorrer e B não ocorrer) à P(~A e ~B) à P(A ou B) à Como são eventos complementares, a soma de P(A ou B) + P(~A e ~B) tem que dar 1 à 1- P(A ou B) = P(~A e ~B) = 1 – 53/90 = 37/90. Resolvendo a letra “f”: P(A não ocorrer ou B não ocorrer) à inserindo-se a fórmula do “OU”à P(A não ocorrer) + P(B não ocorrer) – P(A e B não ocorrerem) à Negando-se, já que são eventos complementares e introduzindo os valores fornecidos no problema: 1/2 + 4/5 – P(A ou B) ///// lembrando que P(A ou B) surgiu da negação de P(~A e ~B)///// Continuando e aplicando a regra do “OU”: 1/2 + 4/5 – P(A) + P(B) – P(A e B) à 1/2 + 4/5 -1/2 +1/5 – 1/2 . 2/9 = 4/5 + 1/5 – 2/18 = 80/90 = 8/9.
37- a) Utilizando-se da negaçãoà P(~A e ~B) = 1- P(A ou B) = 1 – 5/8 = 3/8 ----- b) P(~A ou ~B) = 1 - P(A e B) = 1 – 1/8 = 7/8. Lembre-se sempre de que eventos COMPLEMENTARES são sempre MUTUAMENTE EXCLUSIVOS.
38- P(A e B) será zero, visto que os dois eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, não pode ocorrerem ao mesmo tempo. Pode, ao ser jogada uma moeda para o ar, dar cara e coroa ao mesmo tempo? Este é um exemplo de evento mutuamente exclusivo.
39- a) Como são eventos complementares, P(B) = 1- P(A) à P(B)=2/3. Se P(B)=2/3 o P(B não ocorrer) automaticamente será 1/3, que coincide com o P(A), já que são eventos complementares. b) Se são eventos complementares, com certeza são mutuamente exclusivos, portanto não podem acontecer ao mesmo tempo. No evento complementar, um é negação do outro, e a soma tem que ser 1. Resposta da questão: Zero.
40- Para serem mutuamente exclusivos, o valor da probabilidade de encontrar Ricardo e Fernando dada no enunciado deveria ser Zero. Para serem independentes os eventos, o P(Ricardo) multiplicado pelo P(Fernando) necessariamente deve ser igual ao P(Ricardo e Fernando) dado no enunciado, o que não acontece: 0,40 . 0,10 não é igual a 0,05.
41- a) Nós teremos ou preta, preta e preta, ou branca, branca e branca, visto que são retiradas 3 bolas e temos apenas 2 verdes. Aplicando-se a regra do ou [P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)]. Tendo em vista que os dois eventos não podem acontecer ao mesmo tempo (mutuamente exclusivos), porquanto ou se retiram 3 bolas brancas ou 3 bolas pretas, P(A e B) será Zero. Então procedendo-se o cálculo temos: 5/10 . 4/9 . 3/8= 1/12 + (regra do ou) 3/10 . 2/9 . 1/8 = 1/12 + 1/120 = 11/120.
42- Errado. É 0,65. Lembre-se que para um evento ser considerado independente, P(A e B) tem que possuir o mesmo valor da P(A) x P(B), ou seja, para o evento ser considerado independente, a probabilidade de ocorrerem A e B ao mesmo tempo deve possuir o mesmo valor da multiplicação da Probabilidade de A e da Probabilidade de B.
43- Utilizando-se da análise combinatória, resultados prováveis divididos pelo resultados possíveis, calculemos todos os resultados possíveis: C16,4 . C12,4 . C8,4 . C4,4. Calculemos agora os resultados favoráveis: Pedro e Paula no primeiro grupo à C14,2 . C12,4 . C8,4 . C4,4 . 4 (porque são variações de grupos à a “ou” b “ou” c “ou” d = a + b + c + d (ou apenas multiplica-se por 4). Dessa forma, favoráveis dividido pelos possíveis = C14,2 . C12,4 . C8,4 . C4,4 . 4 / C16,4 . C12,4 . C8,4 . C4,4 = 1/5.
44- ERRADO. Pegadinha total. Essa questão apenas parece simples. Considere uma moeda com as duas faces "coroa". Apesar de ela ter sempre face "coroa" voltada tanto para baixo quanto para cima, imagine, a título de compreensão, que uma face coroa esteja suja de chocolate e outra não. Ou seja, apesar das duas faces serem coroa, não são iguais. Assim, ela poderia ficar (coroa*, coroa) ou (coroa, coroa*). O mesmo vale para a moeda de faces "cara". Dessa forma, nosso espaço amostral, considerando o seguinte par (face para cima; face para baixo), é: {(cara*; cara), (cara; cara*), (cara; coroa), (coroa; cara), (*coroa; coroa), (coroa; coroa*)}. Se a face que ficou pra cima é "cara", então nosso espaço se reduz para {(cara; cara*), (cara*; cara), (cara; coroa)}. Logo, a probabilidade de ser, a face de baixo, coroa é 1/3.
45- Errado. Total de bolas na caixa: 10. Total de bolas azuis na caixa: 2. Total de bolas brancas na caixa: 8. Evento A: Retirar a primeira bola e ela ser azul. Evento B: Retirar a segunda bola e ela ser azul. Evento C: Retirar a primeira bola e ela ser branca. Retirou-se a segunda bola e verificou-se que ela era azul. Pede-se a probabilidade da primeira bola ser azul. Isso é dado pelo O teorema de Bayes: P(A | B) = P(B | A).[P(A)/P(B)]. Assim temos: P(B | A) = 1/9 (pois quando se retirou a segunda bola só restavam 9 bolas e apenas uma delas era azul). P(A) = 2/10 (Total de bolas azuis dividido pelo total de bolas da caixa). P(B) = P(B | A).P(A) + P(B | C).P(C) àP(B) = (1/9).(2/10) + (2/9).(8/10) à P(B) = (2/90) + (16/90) à P(B) = 18/90. Voltando ao teorema de Baynes, temos: P(A | B) = (1/9).[(2/10)/(18/90)] à P(A | B) = 1/9.
46- Fórmula: 1/Tempo = 1/tempo um + 1/tempo dois = 1/T = 1/120min + 1/40min ///...\\\ T = 4/120 =30 minutos cada carro (multiplicado por 3 carros) = 90 minutos.
47- A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
| Horas | Caminhões | Volume |
| 8 | 20 | 160 |
| 5 | x | 125 |
Identificação dos tipos de relação:
SEMPRE, INICIALMENTE colocamos uma seta para baixo NA COLUNA QUE CONTÉM O X (2ª coluna).
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
48- Aqui temos 2 restrições: 1ª) o algarismo 0 não pode ser usado na primeira posição, pois 054, 068, 072, para matemática são considerados números de 2 algarismos (54, 68, 72). 2ª) o último algarismo tem que ser 0, 2, 4, 6 ou 8 para o número ser par. 1ª situação: Número terminando em 0. Vamos iniciar a análise pelo último algarismo, pois para esta situação é necessário que o número termine em 0. Depois, passamos a verificar o primeiro algarismo, pois este tem uma restrição (não pode ser zero). Definição do 3° algarismo (só poderá ser 0, portanto, 1 possibilidade): _____ . _____ . _1p_ ///***\\\ Definição do 1° algarismo: 9 possibilidades (qualquer um dos algarismos de 1 a 9: _9p_ . _____ . _1p_ ///***\\\ Definição do 2° algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de 10 algarismos, mas já usamos 2 deles. Restam-nos portanto, 8: _9p_ . _8p_ . _1p_ ///***\\\ Multiplicando-se as possibilidades, teremos: 9 x 8 x 1 = 72. Quer dizer que há 72 números pares de três algarismos distintos terminando em 0. Segunda situação: Número terminando em 2, 4, 6 ou 8. Vamos iniciar a análise pelo último algarismo, pois para esta situação é necessário que o número termine em 2, 4, 6 ou 8. Depois passamos a verificar o primeiro algarismo, pois este tem uma restrição (não pode ser 0). Definição do 3° algarismo: 4 possibilidades (2, 4, 6 ou 8): _____ . _____ . _4p__///***\\\ Definição do primeiro algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de 10 algarismos mas não podemos usar o “zero” (o número não inicia por 0) e nem o algarismo que já foi usado como 3° algarismo. Restam-nos, portanto, 8: _8p_ . _____ . _4p_ ///***\\\ Na definição do primeiro algarismo, na situação anterior, havíamos encontrado outra quantidade de possibilidades: 9. Devido a essa diferença, tivemos de separar a terminação em zero das outras terminações pares. Definição do 2° algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas já usamos dois deles, restam-nos, portanto, 8: _8p_ . _8p_ . _4p_ ///***\\\ Multiplicando-se as possibilidades teremos: 8 x 8 x 4=256. Quer dizer que há 256 números pares de três algarismos distintos terminando em 2, 4, 6 ou 8. Somando os resultados obtidos nas duas situações, encontraremos a resposta da questão: 72+265= 328. Concluindo, há 328 números pares de três algarismos distintos.
Nenhum comentário:
Postar um comentário